Samenvatting · Wiskunde · havo 3 Machten en wortels: rekenregels en wetenschappelijke notatie

Een macht is een herhaald product en een wortel is het omgekeerde van een kwadraat. Na deze samenvatting gebruik je de rekenregels voor machten, werk je met een negatieve exponent, schrijf je grote en kleine getallen in wetenschappelijke notatie en vereenvoudig je wortels.

Machten

Een macht $g^n$ is een product van $n$ factoren $g$. Het getal $g$ heet het grondtal en $n$ de exponent.

• $2^5=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=32$
• $10^3=1000$
• $(-2{)}^3=-8$ en $(-2{)}^4=16$. Bij een negatief grondtal tussen haakjes is de uitkomst negatief bij een oneven exponent en positief bij een even exponent.
• $-2^4=-16$, want de min staat buiten de macht.

Rekenregels voor machten

De eerste twee regels werken alleen als het grondtal gelijk is. Bij vermenigvuldigen tel je de exponenten op en blijft het grondtal staan.

Met letters en coëfficiënten: vermenigvuldig de getallen met elkaar en pas de machtsregels toe op de letters.

• $2a^3\cdot 5a^2=10a^5$
• $(2a^2{)}^3=2^3\cdot a^6=8a^6$
• $\frac{12a^5}{4a^2}=3a^3$

Optellen en aftrekken: hier bestaat geen regel voor. Het is niet zo dat $2^3+2^4=2^7$. Reken de machten apart uit: $2^3+2^4=8+16=24$.

Exponent nul en negatieve exponent

• $g^0=1$ voor elk grondtal $g\ne 0$.
• $g^{-n}=\frac{1}{g^n}$. Een negatieve exponent maakt het getal niet negatief, maar betekent dat je naar de noemer gaat.

Wetenschappelijke notatie

Een getal in wetenschappelijke notatie schrijf je als $a\cdot 10^n$, met $1\le a<10$ en $n$ een geheel getal.

• $45000000=4,5\cdot 10^7$
• $602000=6,02\cdot 10^5$
• $0,00032=3,2\cdot 10^{-4}$

Rekenen met zulke getallen kan met de regels voor machten:

• $(4\cdot 10^3)\cdot (5\cdot 10^5)=20\cdot 10^8=2\cdot 10^9$
• $\frac{6\cdot 10^8}{3\cdot 10^3}=2\cdot 10^5$

Wortels

De wortel $\sqrt{a}$ van een getal $a\ge 0$ is het niet-negatieve getal waarvan het kwadraat gelijk is aan $a$.

• $\sqrt{49}=7$, want $7^2=49$.
• $(\sqrt{7}{)}^2=7$.
• De vergelijking $x^2=25$ heeft twee oplossingen: $x=5$ of $x=-5$. De wortel zelf, $\sqrt{25}$, is alleen 5.

Rekenregels voor wortels (met $a\ge 0$ en $b\ge 0$):

• $\sqrt{2}\cdot \sqrt{8}=\sqrt{16}=4$
• $\sqrt{\frac{9}{25}}=\frac{3}{5}$

Wortels vereenvoudigen: zoek het grootste kwadraat dat in het getal onder de wortel past.

• $\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=5\sqrt{2}\approx 7,07$
• $\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot 2}=6\sqrt{2}\approx 8,49$

Optellen: je mag alleen wortels optellen als het gelijksoortige wortels zijn: $3\sqrt{2}+5\sqrt{2}=8\sqrt{2}$. Maar $\sqrt{9}+\sqrt{16}=3+4=7$ is niet $\sqrt{25}=5$.

Valkuilen

• Bij een product de grondtallen of de exponenten vermenigvuldigen. $2^3\cdot 2^4=2^7$ en niet $4^7$ of $2^{12}$.
• Macht van een macht en product van machten verwarren. $(3^2{)}^3=3^6$, maar $3^2\cdot 3^3=3^5$.
• **$2^{-3}$ negatief maken.** Het antwoord is $\frac{1}{8}$ en niet $-8$.
• **$\sqrt{a+b}$ splitsen.** $\sqrt{9+16}$ is niet $\sqrt{9}+\sqrt{16}$. Ook $(a+b{)}^2$ is niet $a^2+b^2$.
• **Het teken bij $-3^2$ en $(-3{)}^2$.** Het eerste is $-9$, het tweede is 9.
• **Een getal als $12\cdot 10^3$ wetenschappelijke notatie noemen.** Het eerste getal moet tussen 1 en 10 liggen, dus $1,2\cdot 10^4$.

In het kort

• Product van machten met gelijk grondtal: exponenten optellen. Quotiënt: exponenten aftrekken.
• Macht van een macht: exponenten vermenigvuldigen.
• $g^0=1$ en $g^{-n}=\frac{1}{g^n}$.
• Wetenschappelijke notatie: $a\cdot 10^n$ met $1\le a<10$.
• $\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}$. Vereenvoudig een wortel door het grootste kwadraat naar buiten te halen.
• Bij optellen en aftrekken van machten of wortels bestaat geen rekenregel zoals bij vermenigvuldigen.