COMMUNITY

Samenvatting · Natuurkunde · vwo 4 Beweging: diagrammen, vrije val en schuine worp

StudyZone

NatuurkundeVak

WAT ZIT ERIN

1Na deze samenvatting beschrijf je een beweging met plaats, snelheid en versnelling en gebruik je steilheid en oppervlakte in diagrammen. Je rekent met de formules voor eenparig versnelde bewegingen en met vrije val, en je splitst een horizontale of schuine worp in een…

Bewaar deze samenvatting

Na deze samenvatting beschrijf je een beweging met plaats, snelheid en versnelling en gebruik je steilheid en oppervlakte in diagrammen. Je rekent met de formules voor eenparig versnelde bewegingen en met vrije val, en je splitst een horizontale of schuine worp in een horizontale en een verticale beweging.

Plaats, snelheid en versnelling

De plaats $x$ (in m) geeft aan waar een voorwerp is op een as. De verplaatsing $Δ x$ is het verschil tussen eind- en beginplaats. De gemiddelde snelheid is

v_{g e m} = \frac{Δ x}{Δ t}

De snelheid op een tijdstip (momentane snelheid) is de steilheid van de raaklijn aan de grafiek in een (x,t)-diagram. De versnelling is de verandering van de snelheid per seconde, $a = \frac{Δ v}{Δ t}$ , en op een tijdstip de steilheid van de raaklijn in een (v,t)-diagram. Wiskundig zijn dit afgeleiden: $v = \frac{d x}{d t}$ en $a = \frac{d v}{d t}$ .

Diagram	Steilheid van de grafiek	Oppervlakte onder de grafiek
(x,t)-diagram	snelheid	geen betekenis
(v,t)-diagram	versnelling	verplaatsing $Δ x$
(a,t)-diagram	geen betekenis op dit niveau	snelheidsverandering $Δ v$

Snelheid en versnelling kunnen negatief zijn: kies een positieve richting en houd je daaraan. Een negatieve $a$ met een positieve $v$ betekent afremmen; een negatieve $a$ met een negatieve $v$ betekent juist sneller worden in de negatieve richting.

Eenparige en eenparig versnelde beweging

Bij constante snelheid (eenparige beweging) is $x = x_{0} + v \cdot t$ . Bij een constante versnelling (eenparig versnelde beweging) gelden:

v = v_{0} + a \cdot t x = x_{0} + v_{0} \cdot t + \frac{1}{2} a \cdot t^{2}

Elimineer je $t$ uit beide formules, dan krijg je een handige derde formule, zonder tijd:

v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a \cdot Δ x

Bij een eenparig versnelde beweging is $v_{g e m} = \frac{v _{0} + v}{2}$ .

Voorbeeld

De plaats van een voorwerp is $x (t) = 2, 0 \cdot t + 1, 5 \cdot t^{2}$ (in m, met $t$ in s). Vergelijk met $x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}$ : dus $v_{0} = 2, 0 m/s$ en $\frac{1}{2} a = 1, 5$ , dus $a = 3, 0 m/s^{2}$ .

1Op

t = 4, 0 s

x = 2, 0 \cdot 4, 0 + 1, 5 \cdot 4, 0^{2} = 32 m

v = v_{0} + a t = 2, 0 + 3, 0 \cdot 4, 0 = 14 m/s

.3Controle:

v_{g e m} = \frac{2 , 0 + 14}{2} = 8, 0 m/s

\frac{x}{t} = \frac{32}{4 , 0} = 8, 0 m/s

. Dat klopt.

Voorbeeld remmen: Een auto rijdt 30 m/s en remt met een constante vertraging van $6, 0 m/s^{2}$ (dus $a = - 6, 0$ ). Hoever komt hij? $0 = 3 0^{2} + 2 \cdot (- 6, 0) \cdot Δ x$ , dus $Δ x = \frac{900}{12} = 75 m$ . De remtijd is $t = \frac{0 - 30}{- 6 , 0} = 5, 0 s$ .

Vrije val en verticale worp

Bij een vrije val werkt alleen de zwaartekracht (zonder luchtweerstand). Elk voorwerp heeft dan dezelfde versnelling, $g = 9, 81 m/s^{2}$ , gericht naar beneden. Kies je omhoog als positief, dan is $a = - g$ .

Bij een voorwerp dat omhoog gegooid wordt, is de snelheid op het hoogste punt nul, terwijl de versnelling nog steeds $- g$ is.
Zonder luchtweerstand duurt omhoog gaan even lang als omlaag komen, en komt het voorwerp op dezelfde hoogte even snel terug als waarmee het vertrok.

Voorbeeld

Een steen wordt met 12 m/s recht omhoog gegooid.

1Tijd tot het hoogste punt:

v = v_{0} - g t = 0

, dus

t = \frac{12}{9 , 81} = 1, 2 s

.2Maximale hoogte:

h = \frac{v _{0}^{2}}{2 g} = \frac{1 2 ^{2}}{2 \cdot 9 , 81} = 7, 3 m

.3Totale tijd in de lucht (terug op de beginhoogte):

2 \cdot 1, 22 = 2, 4 s

Samengestelde beweging: de worp

Bij een worp gebruik je dat de horizontale en de verticale beweging onafhankelijk van elkaar zijn (zonder luchtweerstand):

horizontaal (x): geen kracht, dus constante snelheid, $x = v_{x} \cdot t$ ;
verticaal (y): alleen de zwaartekracht, dus een eenparig versnelde beweging met $a_{y} = - g$ .

Het gemeenschappelijke is de tijd $t$ , die je in beide richtingen gebruikt. De baan is een parabool. De totale snelheid is $v = v_{x}^{2} + v_{y}^{2}$ en de hoek met de horizontaal volgt uit $tan α = \frac{v _{y}}{v _{x}}$ .

Horizontale worp

Voorbeeld

Een bal rolt met 3,0 m/s van een tafel van 1,20 m hoog.

1Valtijd (alleen de verticale beweging):

h = \frac{1}{2} g t^{2}

, dus

t = \frac{2 h}{g} = \frac{2 \cdot 1 , 20}{9 , 81} = 0, 495 s

.2Afstand vanaf de tafelrand:

x = v_{x} t = 3, 0 \cdot 0, 495 = 1, 5 m

.3Verticale snelheid bij de grond:

v_{y} = g t = 9, 81 \cdot 0, 495 = 4, 9 m/s

.4Totale snelheid:

v = 3, 0^{2} + 4, 9^{2} = 5, 7 m/s

, onder een hoek van

α = tan^{- 1} (\frac{4 , 9}{3 , 0}) = 5 8^{\circ}

met de horizontaal.

Schuine worp

Bij een worp met beginsnelheid $v_{0}$ onder een hoek $α$ boven de horizontaal ontbind je de beginsnelheid:

v_{0 x} = v_{0} cos α v_{0 y} = v_{0} sin α

Voorbeeld

Een bal wordt met 20 m/s onder 40° geschopt vanaf de grond.

v_{0 x} = 20 \cdot cos 4 0^{\circ} = 15, 32 m/s

v_{0 y} = 20 \cdot sin 4 0^{\circ} = 12, 86 m/s

.2Hoogste punt, waar

v_{y} = 0

t = \frac{v _{0 y}}{g} = \frac{12 , 86}{9 , 81} = 1, 31 s

, op een hoogte van

h = \frac{v _{0 y}^{2}}{2 g} = 8, 4 m

.3De bal landt weer op de grond na

2 \cdot 1, 31 = 2, 62 s

.4Bereik:

x = v_{0 x} \cdot t = 15, 32 \cdot 2, 62 = 40 m

.5Op het hoogste punt is de snelheid

v_{x} = 15, 3 m/s

, horizontaal. Bij het landen is de snelheid weer 20 m/s, onder 40° naar beneden.

Zonder luchtweerstand geldt voor het bereik op gelijke hoogte $x = \frac{v _{0}^{2} s i n 2 α}{g}$ . Het bereik is maximaal bij $α = 4 5^{\circ}$ : $\frac{2 0 ^{2}}{9 , 81} = 41 m$ . Hoeken die samen 90° zijn, zoals 40° en 50°, geven hetzelfde bereik.

Valkuilen

In een worp is de horizontale versnelling nul en de verticale versnelling altijd $- g$ , ook op het hoogste punt.
De formules voor $x (t)$ en $v (t)$ gelden alleen bij een constante versnelling.
Op het hoogste punt van een schuine worp is de snelheid niet nul, maar $v_{x}$ .
Gebruik de verticale beweging voor de tijd en de horizontale voor de afstand.
Zet km/h om naar m/s, en let op het teken van $a$ bij afremmen.

In het kort

Snelheid is de steilheid in een (x,t)-diagram en versnelling de steilheid in een (v,t)-diagram. De oppervlakte onder de (v,t)-lijn is de verplaatsing.
Constante versnelling: $v = v_{0} + a t$ , $x = x_{0} + v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}$ en $v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a Δ x$ .
Vrije val: $a = g = 9, 81 m/s^{2}$ , onafhankelijk van de massa; omhoog gegooid is $a = - g$ .
Een worp is een horizontale beweging met constante snelheid plus een verticale beweging met $a = - g$ .
Schuine worp: $v_{0 x} = v_{0} cos α$ en $v_{0 y} = v_{0} sin α$ ; de baan is een parabool.

Meer Natuurkunde uit de Oefentoetsen

VRAAG 1 · KRACHTEN, MASSA EN ZWAARTEKRACHT

Oefentoets

5 vragen

Krachten, massa en zwaartekracht

Natuurkunde · vwo 4

Energie

Samenvatting

Energie

Natuurkunde · vwo 6

VRAAG 1 · BEWEGINGEN BESCHRIJVEN EN ANALYSEREN

Oefentoets

10 vragen

Bewegingen beschrijven en analyseren

Natuurkunde · vwo 4

Bewegingen beschrijven en analyseren

Samenvatting

Bewegingen beschrijven en analyseren

Natuurkunde · vwo 4

Bekijk alles voor natuurkunde vwo

Staat hier iets dat niet klopt of niet hoort? .

Samenvatting · Natuurkunde · vwo 4 Beweging: diagrammen, vrije val en schuine worp

Plaats, snelheid en versnelling

Eenparige en eenparig versnelde beweging

Vrije val en verticale worp

Samengestelde beweging: de worp

Horizontale worp

Schuine worp

Valkuilen

In het kort

Meer Natuurkunde uit de Oefentoetsen

Krachten, massa en zwaartekracht

Energie

Bewegingen beschrijven en analyseren

Bewegingen beschrijven en analyseren

Probeer het met je volgende toets