Samenvatting · Natuurkunde · vwo 5 Gassen: de gaswet en kinetische gastheorie

Na deze samenvatting reken je met de gaswet $pV=nRT$ en met de bijzondere gevallen isotherm, isobaar en isochoor. Je weet wat een ideaal gas is, rekent met mol en molecuulmassa en verbindt temperatuur met de gemiddelde kinetische energie van de moleculen.

Het ideale gas en de grootheden

Een ideaal gas is een model waarin de moleculen zo klein zijn dat ze verwaarloosbaar volume hebben, geen krachten op elkaar uitoefenen behalve bij botsingen, en elastisch botsen. Gewone gassen als lucht gedragen zich bij kamertemperatuur en normale druk bij goede benadering zo.

De temperatuur moet je altijd in kelvin invullen en de druk als absolute druk. Een manometer meet vaak overdruk; tel daar de luchtdruk bij op (ongeveer $1,013\cdot 10^5\text{Pa}$). De molaire massa $M$ is de massa van 1 mol in kg/mol, dus $n=\frac{m}{M}$.

De algemene gaswet

met $R=8,314{\text{J mol}}^{-1}{\text{K}}^{-1}$ de gasconstante en $k=1,381\cdot 10^{-23}{\text{J K}}^{-1}$ de constante van Boltzmann. Er geldt $R=N_A\cdot k$.

Blijft de hoeveelheid gas gelijk ($n$ constant), dan heeft $\frac{pV}{T}$ een vaste waarde, en geldt voor een verandering van toestand 1 naar 2:

Voorbeeld aantal moleculen: In een ballon van 2,0 L zit lucht van 20 °C en $1,013\cdot 10^5\text{Pa}$. Dan is $n=\frac{pV}{RT}=\frac{1,013\cdot 10^5\cdot 2,0\cdot 10^{-3}}{8,314\cdot 293,15}=8,3\cdot 10^{-2}\text{mol}$. Het aantal moleculen is $N=n\cdot N_A=8,3\cdot 10^{-2}\cdot 6,022\cdot 10^{23}=5,0\cdot 10^{22}$.

Bijzondere gevallen

Houd je één grootheid constant, dan vereenvoudigt de gaswet:

Voorbeeld isotherm: Een duikfles van 15 L staat onder een druk van 200 bar. Bij dezelfde temperatuur komt er onder 1,0 bar $V=\frac{200\cdot 15}{1,0}=3,0\cdot 10^3\text{L}$ lucht uit.

Voorbeeld isochoor: In een spuitbus van vast volume is de druk bij 20 °C gelijk aan $3,0\cdot 10^5\text{Pa}$. De bus wordt verwarmd tot 120 °C. $p_2=p_1\cdot \frac{T_2}{T_1}=3,0\cdot 10^5\cdot \frac{393,15}{293,15}=4,0\cdot 10^5\text{Pa}$. Daarom kan een spuitbus in een vuur ontploffen.

Voorbeeld algemeen: Een gas van $3,0\text{L}$, $1,0\cdot 10^5\text{Pa}$ en 290 K wordt samengeperst tot $2,0\cdot 10^5\text{Pa}$ en daarbij verwarmd tot 340 K. Dan is $V_2=V_1\cdot \frac{p_1}{p_2}\cdot \frac{T_2}{T_1}=3,0\cdot \frac{1,0}{2,0}\cdot \frac{340}{290}=1,8\text{L}$.

Bij een isobaar proces verricht het gas arbeid op de omgeving: $W=p\cdot \Delta V$. Dat is ook de oppervlakte onder de lijn in een (p,V)-diagram. Zet een gas bij $1,0\cdot 10^5\text{Pa}$ $1,0\text{L}$ uit, dan is $W=1,0\cdot 10^5\cdot 1,0\cdot 10^{-3}=1,0\cdot 10^2\text{J}$.

Kinetische gastheorie

De druk van een gas ontstaat doordat moleculen tegen de wand botsen. Uit dat model volgt een verband tussen temperatuur en bewegingsenergie van de moleculen. Voor de gemiddelde kinetische energie (van de translatie) van een molecuul in een ideaal gas geldt:

De absolute temperatuur is dus een maat voor de gemiddelde kinetische energie van de moleculen; bij 0 K staan ze (in dit model) stil. De bijbehorende (kwadratisch gemiddelde) snelheid volgt uit $\frac{1}{2}m{v}^2=\frac{3}{2}kT$:

Dichtheid van een gas: Met $n=\frac{m}{M}$ wordt de gaswet $pV=\frac{m}{M}RT$, dus $\rho =\frac{m}{V}=\frac{pM}{RT}$. Voor lucht met $M=0,029\text{kg/mol}$ bij 20 °C en $1,013\cdot 10^5\text{Pa}$ volgt $\rho =\frac{1,013\cdot 10^5\cdot 0,029}{8,314\cdot 293,15}=1,2{\text{kg/m}}^3$. Hete lucht heeft een lagere dichtheid dan koude lucht, en dat laat een luchtballon stijgen.

Valkuilen

• Reken de temperatuur altijd om naar kelvin en gebruik absolute druk, niet overdruk.
• Reken volumes om naar m³ en gebruik $R=8,314$ alleen met $p$ in Pa, $V$ in m³, $n$ in mol en $T$ in K.
• Bij de verhouding $\frac{p_1{V}_1}{T_1}=\frac{p_2{V}_2}{T_2}$ maakt de eenheid van $p$ of $V$ niet uit, mits links en rechts gelijk; de temperatuur moet wel in kelvin.
• Bij het kwadratisch gemiddelde reken je met massa per molecuul in kg, niet met de molaire massa.
• $E_{k,gem}=\frac{3}{2}kT$ hangt alleen af van $T$, niet van het soort gas.

In het kort

• Gaswet: $pV=nRT=NkT$, met $T$ in K en $p$ absoluut.
• Gelijke hoeveelheid gas: $\frac{p_1{V}_1}{T_1}=\frac{p_2{V}_2}{T_2}$.
• Isotherm: $pV$ constant. Isobaar: $\frac{V}{T}$ constant. Isochoor: $\frac{p}{T}$ constant.
• Arbeid bij constante druk: $W=p\cdot \Delta V$.
• $E_{k,gem}=\frac{3}{2}kT$ en $v_{rms}=\sqrt{\frac{3kT}{m}}$; temperatuur is een maat voor de gemiddelde kinetische energie.
• Dichtheid van een gas: $\rho =\frac{pM}{RT}$.