Samenvatting · Natuurkunde · vwo 5 Gravitatie-energie en ontsnappingssnelheid

Gravitatie-energie en ontsnappingssnelheid

Gravitatiekracht op afstand

• Dicht bij het aardoppervlak mag je de zwaartekracht benaderen met:

Hierbij is $F_g$ de zwaartekracht in N, $m$ de massa in kg en $g$ de gravitatieversnelling in $\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$. In Nederland is gemiddeld $g=9,81\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$.

• Op grotere hoogte is $g$ niet constant: de gravitatiekracht neemt af als de afstand tot het middelpunt van de aarde groter wordt. Dan gebruik je:

met:

• $G$: gravitatieconstante in $\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-2}$;
• $m$: massa van het voorwerp in kg;
• $M$: massa van het hemellichaam in kg;
• $r$: afstand tussen de zwaartepunten in m.
• Bij een voorwerp op hoogte $h$ boven de aarde geldt:

Gebruik dus nooit alleen $h$ als afstand in de gravitatieformules.

Arbeid en gravitatie-energie

• Wanneer een voorwerp van de aarde af beweegt, is de gravitatiekracht tegengesteld gericht aan de verplaatsing. De gravitatiekracht verricht dan negatieve arbeid:

• Bij een kleine hoogteverandering kun je de arbeid bepalen met de oppervlakte onder een $(F_g,h)$-diagram. Als de grafiek vrijwel recht is:

waarbij $F_{g,\text{gem}}$ in N en $\Delta h$ in m moet worden ingevuld. De uitkomst is dan in J.

• De energie die hoort bij de gravitatiekracht heet gravitatie-energie:

De gravitatie-energie is negatief, omdat $G$, $m$, $M$ en $r$ positief zijn.

• Als de afstand $r$ groter wordt, neemt $E_g$ toe: de waarde wordt minder negatief. Op oneindig grote afstand geldt:

Dit is de maximale waarde van de gravitatie-energie.

Verband tussen arbeid en gravitatie-energie

De arbeid van de gravitatiekracht is tegengesteld aan de verandering van de gravitatie-energie:

Beweegt een satelliet omhoog, dan neemt $E_g$ toe. Daarom is $W_g$ negatief. De raketmotoren moeten dan energie leveren om zowel de gravitatie-energie als, bij een baan, de kinetische energie te vergroten.

Voorbeeldsatelliet omhoog verplaatsen

Een satelliet met massa $300\mathrm{kg}$ wordt van $450\mathrm{km}$ naar $500\mathrm{km}$ hoogte gebracht. De gravitatiekracht is ongeveer $2,57\cdot 10^3\mathrm{N}$ op 450 km en $2,53\cdot 10^3\mathrm{N}$ op 500 km.

De negatieve arbeid betekent dat de gravitatie-energie van de satelliet met $1,3\cdot 10^8\mathrm{J}$ toeneemt.

Energiebehoud bij een satelliet

Bij lancering naar een baan om de aarde geldt, als luchtweerstand wordt meegenomen:

Hierin is $Q$ de energie die door luchtweerstand in warmte verandert. Een satelliet in een stabiele baan heeft altijd kinetische energie: $E_{k,B}\ne 0$. Zonder voldoende baansnelheid zou hij terugvallen naar de aarde.

De kinetische energie is:

waarbij $v$ in $\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ moet staan. Een snelheid in $\mathrm{km}{\mathrm{h}}^{-1}$ deel je door $3,6$.

Ontsnappingssnelheid

De ontsnappingssnelheid is de minimale beginsnelheid waarmee een voorwerp, zonder luchtweerstand, op oneindig grote afstand terechtkomt zonder terug te vallen.

Voor deze grenssituatie geldt op oneindig grote afstand:

Dus bij vertrek vanaf het oppervlak:

Na wegdelen van $m$ volgt:

De ontsnappingssnelheid hangt dus niet af van de massa van het voorwerp, maar wel van de massa $M$ en straal $r$ van het hemellichaam.

Voor de aarde aan de evenaar:

Dus:

Vanaf een baan op hoogte $h$ gebruik je:

De ontsnappingssnelheid is daar kleiner dan vanaf het aardoppervlak.

Verband met baansnelheid

Voor een cirkelvormige baan geldt:

Daaruit volgt:

Een voorwerp in een baan heeft dus nog een snelheidstoename nodig om te ontsnappen, maar deze benodigde snelheid is kleiner dan de ontsnappingssnelheid vanaf de aarde. Raketten worden bij voorkeur nabij de evenaar in oostelijke richting gelanceerd, omdat de draaiing van de aarde daar al de grootste beginsnelheid geeft.