Samenvatting · Wiskunde A · havo 4 Exponentiële groei: formule, groeifactor en verdubbelingstijd

Bij exponentiële groei vermenigvuldig je per tijdseenheid steeds met dezelfde groeifactor, zoals bij bacteriën, spaargeld met rente en de afbraak van een medicijn. Na deze samenvatting stel je een exponentiële formule op, reken je groeifactoren om naar een andere tijdseenheid, bepaal je een verdubbelingstijd of halveringstijd met de GR en kun je het verschil met lineaire groei verklaren.

De formule

Bij exponentiële groei hoort de formule

• $b$ is de beginwaarde: de waarde bij $t=0$.
• $g$ is de groeifactor per tijdseenheid.
• $t$ is de tijd, in dezelfde eenheid als waarvoor $g$ geldt.

Bij een groei van $p$% per tijdseenheid is $g=1+\frac{p}{100}$, bij een afname van $p$% is $g=1-\frac{p}{100}$. Is $g>1$, dan is er groei, is $0<g<1$, dan is er afname.

Herkennen in een tabel

Bij exponentiële groei is het quotiënt van opeenvolgende waarden constant (bij gelijke stappen in $t$). Bij lineaire groei is het verschil constant.

De quotiënten zijn $\frac{46}{40}=1,15$, $\frac{52,9}{46}=1,15$ en $\frac{60,835}{52,9}=1,15$. De groeifactor is dus 1,15 en de formule is $N=40\cdot 1,15^t$.

Zijn de waarden niet van opeenvolgende tijdstippen, dan vind je de groeifactor per tijdseenheid met een macht.

Rond een groeifactor tussendoor af op minstens vier decimalen. Met 1,136 komt er na 4 jaar maar ongeveer 1998 uit.

Groeifactor per andere tijdseenheid

Een groeifactor reken je om met een macht, niet door te delen of te vermenigvuldigen.

• Van een kleine naar een grote tijdseenheid: $g_{\text{jaar}}=g_{\text{maand}}^{12}$.
• Van een grote naar een kleine tijdseenheid: $g_{\text{maand}}=g_{\text{jaar}}^{1/12}$.

Staat in een formule de tijd in een andere eenheid dan de groeifactor, dan pas je de exponent aan. Een populatie die elke 12 dagen verdubbelt, heeft de formule $N=b\cdot 2^{t/12}$, met $t$ in dagen.

Verdubbelingstijd en halveringstijd

• De verdubbelingstijd is de tijd waarin een hoeveelheid twee keer zo groot wordt.
• De halveringstijd is de tijd waarin een hoeveelheid half zo groot wordt.

Je vindt ze met de GR. Los $g^t=2$ of $g^t=0,5$ op met intersect, met $Y_1=g^X$ en $Y_2=2$ of $0,5$. Beide tijden hangen niet af van de beginwaarde.

De grafiek

• De grafiek gaat door het punt $(0,b)$. Hier is $b>0$.
• Bij $g>1$ stijgt de grafiek steeds steiler. Bij $0<g<1$ daalt de grafiek steeds langzamer.
• De grafiek komt dichter bij de horizontale as (de lijn $y=0$), maar raakt die nooit. De $t$-as is een horizontale asymptoot.
• Hoe groter $g$, hoe sneller de groei.

Lineair of exponentieel

Valkuilen

• Groeipercentages optellen of delen. Reken met een macht, zoals $g_{\text{jaar}}=g_{\text{maand}}^{12}$.
• De tijdseenheid niet laten kloppen. Een formule met een groeifactor per jaar en $t$ in maanden is fout.
• Te vroeg afronden. Rond groeifactoren af op minstens vier decimalen.
• Het verdubbelen verkeerd opvatten. Bij 8% groei per jaar is de verdubbelingstijd geen $100:8=12,5$ jaar, maar ongeveer 9,0 jaar.
• Afname met groeipercentage verwarren. Een afname van 12% hoort bij $g=0,88$, niet bij $g=1,12$.

In het kort

• Exponentiële groei: $N=b\cdot g^t$, met beginwaarde $b$ en groeifactor $g$ per tijdseenheid.
• Bij $p$% groei is $g=1+\frac{p}{100}$, bij $p$% afname is $g=1-\frac{p}{100}$.
• In een tabel herken je exponentiële groei aan een constant quotiënt.
• Een groeifactor reken je om naar een andere tijdseenheid met een macht, zoals $g_{\text{jaar}}=g_{\text{maand}}^{12}$.
• Verdubbelings- en halveringstijd vind je met de GR (intersect) en hangen niet af van de beginwaarde.
• De grafiek heeft de horizontale as als asymptoot en gaat door $(0,b)$.