Samenvatting · Wiskunde A · havo 4 Histogram, frequentiepolygoon en cumulatieve frequentie

Bij veel waarnemingen deel je de gegevens in klassen in en laat je ze zien in een histogram of een cumulatief frequentiepolygoon. Na deze samenvatting maak en lees je een frequentietabel, teken je een histogram (ook met ongelijke klassenbreedtes), lees je mediaan en kwartielen af uit een cumulatieve grafiek en schat je een gemiddelde uit klassen.

Klassen en frequenties

Bij veel verschillende waarnemingen deel je de gegevens in klassen in. Elke klas heeft een klassenbreedte: het verschil tussen de ondergrens en de bovengrens. De frequentie van een klas is het aantal waarnemingen in die klas. De relatieve frequentie is de frequentie als deel van het totaal, meestal in procenten.

De cumulatieve frequentie is het totaal aantal waarnemingen tot en met de bovengrens van de klas. Je telt de frequenties steeds bij elkaar op. De laatste cumulatieve frequentie is het totale aantal, hier 50.

Het histogram

In een histogram staan staven tegen elkaar, één per klas. De oppervlakte van een staaf is evenredig met de frequentie van de klas.

• Bij gelijke klassenbreedte (zoals hierboven) is de hoogte van de staaf de frequentie.
• Bij ongelijke klassenbreedte is de hoogte van de staaf de frequentiedichtheid:

Dan is de oppervlakte van de staaf precies de frequentie, en dat is bij ongelijke klassenbreedtes nodig om de klassen eerlijk te vergelijken.

De verticale as krijgt de naam "frequentiedichtheid" (aantal personen per minuut). De staaf van 20 tot 40 is laag maar breed. Zijn oppervlakte is $20\cdot 0,3=6$, de frequentie.

Zou je bij ongelijke klassen gewoon de frequentie als hoogte nemen, dan lijkt de brede klas veel groter dan hij is.

Het frequentiepolygoon

Een frequentiepolygoon laat zien hoe de frequenties over de klassen verdeeld zijn. Bij gelijke klassenbreedte zet je boven elk klassenmidden een punt met als hoogte de frequentie en trek je lijnstukken tussen de punten.

Het klassenmidden is het gemiddelde van de onder- en bovengrens. Bij de klassen hierboven zijn de klassenmiddens 1, 3, 5, 7 en 9. De punten zijn $(1,4)$, $(3,12)$, $(5,18)$, $(7,11)$ en $(9,5)$.

Het cumulatief frequentiepolygoon

Een cumulatief frequentiepolygoon laat bij elke waarde zien hoeveel waarnemingen kleiner dan of gelijk aan die waarde zijn. Je tekent de punten op de bovengrens van elke klas, met de cumulatieve frequentie als hoogte, en begint op de ondergrens van de eerste klas bij 0. Voor het voorbeeld zijn de punten $(0,0)$, $(2,4)$, $(4,16)$, $(6,34)$, $(8,45)$ en $(10,50)$.

Je leest deze grafiek zo af:

• Hoeveel waarnemingen zijn kleiner dan een waarde? Ga omhoog vanaf die waarde tot de grafiek en lees links de hoogte af. Minder dan 3 uur per dag: tussen 2 en 4 uur stijgt de grafiek van 4 naar 16, dus bij 3 uur is de hoogte 10. Ongeveer 10 leerlingen.
• Hoeveel zijn groter dan een waarde? Trek de hoogte af van het totaal. Meer dan 8 uur: $50-45=5$ leerlingen.
• De mediaan en kwartielen. De mediaan hoort bij de helft van het totaal, hier hoogte 25. Het eerste kwartiel hoort bij hoogte 12,5 en het derde kwartiel bij hoogte 37,5. Ga vanaf die hoogte naar de grafiek en dan omlaag. Zo vind je een mediaan van 5 uur, $Q_1\approx 3,4$ uur en $Q_3\approx 6,6$ uur.

Is de verticale as in procenten (de cumulatieve relatieve frequentie), dan hoort de mediaan bij 50% en de kwartielen bij 25% en 75%.

Het gemiddelde uit klassen

Als je alleen de klassen hebt, reken je met het klassenmidden. Het gemiddelde is dan een schatting, omdat je de echte waarden niet kent:

Hierin is $f$ de frequentie van een klas, $m$ het klassenmidden en $n$ het totale aantal waarnemingen.

Voor de schermtijd: $\frac{4\cdot 1+12\cdot 3+18\cdot 5+11\cdot 7+5\cdot 9}{50}=\frac{252}{50}=5,04$ uur.

Valkuilen

• De frequentie als hoogte bij ongelijke klassen. Dan klopt de oppervlakte niet. Gebruik de frequentiedichtheid.
• Het cumulatief frequentiepolygoon op het klassenmidden tekenen. Cumulatieve punten horen op de bovengrens van de klas.
• De mediaan op de halve hoogte van de laatste klas lezen. De mediaan hoort bij de helft van het totaal aantal.
• Het gemiddelde uit klassen als exact beschouwen. Het is een schatting.
• Open klassen vergeten. Bij een klas als "meer dan 40" kun je het klassenmidden niet berekenen zonder een extra aanname.

In het kort

• Een klas heeft een klassenbreedte en een frequentie. De cumulatieve frequentie is het opgetelde totaal tot en met de bovengrens.
• In een histogram is de oppervlakte van een staaf evenredig met de frequentie. Bij ongelijke klassenbreedte is de hoogte $\frac{\text{frequentie}}{\text{klassenbreedte}}$.
• Een frequentiepolygoon verbindt de punten (klassenmidden, frequentie).
• Een cumulatief frequentiepolygoon heeft punten op de bovengrenzen. Daaruit lees je aantallen, de mediaan en de kwartielen af.
• Het gemiddelde uit klassen schat je met de klassenmiddens.