Samenvatting · Wiskunde A · havo 5 Tellen en kansrekening: permutaties, combinaties en kansbomen

Hoeveel pincodes zijn er, op hoeveel manieren kun je een commissie kiezen en hoe groot is de kans op twee rode knikkers uit een vaas? Na deze samenvatting tel je mogelijkheden met het vermenigvuldigprincipe, permutaties en combinaties, en bereken je kansen met kansbomen, de somregel, de productregel en het complement.

Het vermenigvuldigprincipe

Bestaat een keuze uit meerdere stappen, dan vermenigvuldig je de aantallen mogelijkheden per stap.

Gaat het om een "of"-keuze waarbij beide opties elkaar uitsluiten, dan tel je de aantallen op. Kies je een voorgerecht uit 3 soepen of 2 salades, dan zijn er $3+2=5$ mogelijkheden.

Faculteiten en permutaties

De faculteit van $n$ is het product van alle gehele getallen van 1 tot en met $n$:

Zo is $5!=120$. Per afspraak is $0!=1$.

• Het aantal manieren om $n$ verschillende dingen op een rij te zetten is $n!$. Vijf boeken op een plank kunnen op $5!=120$ manieren.
• Kies je $k$ dingen uit $n$ en is de volgorde belangrijk, dan is het aantal rangschikkingen (permutaties):

Op de GR gebruik je hiervoor nPr: 8 nPr 3 geeft 336.

Combinaties

Is de volgorde niet belangrijk, dan tel je combinaties. Het aantal manieren om $k$ dingen te kiezen uit $n$ is

Op de GR gebruik je hiervoor nCr: $n$ nCr $k$. Er geldt $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n-k}\right)$ en $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n}\right)=1$.

Kansen berekenen

Zijn alle uitkomsten even waarschijnlijk, dan geldt

Een kans ligt altijd tussen 0 en 1. Voor het complement geldt $P(\text{niet }A)=1-P(A)$. Dat is handig bij de woorden "minstens één".

Kansbomen

Bij een opeenvolging van keuzes teken je een kansboom. Op elke tak staat de kans op die uitkomst.

• Productregel: de kans op een pad is het product van de kansen langs dat pad.
• Somregel: de kans op een gebeurtenis die bij meerdere paden hoort, is de som van de kansen van die paden.

De kans op één rode en één blauwe knikker is volgens de somregel $\frac{15}{56}+\frac{15}{56}=\frac{30}{56}=\frac{15}{28}$. De vier kansen samen zijn $\frac{20+15+15+6}{56}=1$.

Bij terugleggen blijft de kans op rood steeds $\frac{5}{8}$ en zijn de trekkingen onafhankelijk. De kans op twee keer rood is dan ${\left(\frac{5}{8}\right)}^2=\frac{25}{64}$.

Je kunt dezelfde kans zonder terugleggen ook met combinaties berekenen: $P(\text{2 rood})=\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{2}\right)}=\frac{10}{28}=\frac{5}{14}$.

Valkuilen

• Permutatie en combinatie verwisselen. Speelt de volgorde een rol (podium), dan permutatie. Speelt de volgorde geen rol (commissie), dan combinatie.
• Product en som door elkaar halen. Langs een pad vermenigvuldig je, bij meerdere paden tel je op.
• Vergeten dat de kans verandert zonder terugleggen. Na een rode knikker zijn er nog 4 rode van 7.
• Bij "minstens één" alles uitrekenen. Het complement is vaak sneller.
• Een kans groter dan 1. Controleer altijd of het resultaat tussen 0 en 1 ligt.

In het kort

• Aantal mogelijkheden bij meerdere stappen: vermenigvuldig. Bij een of-keuze: tel op.
• $n!$ is het aantal volgordes van $n$ verschillende dingen. Permutaties: $\frac{n!}{(n-k)!}$, combinaties: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$.
• Kans: $P(A)=\frac{\text{gunstig}}{\text{mogelijk}}$ bij gelijke kansen. Complement: $P(\text{niet }A)=1-P(A)$.
• In een kansboom vermenigvuldig je langs de takken en tel je de paden bij elkaar op.
• Bij onafhankelijke gebeurtenissen is $P(A\text{ en }B)=P(A)\cdot P(B)$.