Samenvatting · Wiskunde C · vwo 4 Beschrijvende statistiek: centrum, spreiding, boxplot en histogram

Een peiling, een rapportcijferlijst, de lengtes in een klas: statistiek laat je grote hoeveelheden gegevens samenvatten en vergelijken. Na deze samenvatting bereken je gemiddelde, mediaan en spreiding, teken je een boxplot en kun je histogrammen en cumulatieve grafieken lezen.

Centrummaten

• Het gemiddelde is de som van alle waarden gedeeld door het aantal: $\bar{x}=\frac{\sum x}{n}$.
• De mediaan is de middelste waarde van de gerangschikte gegevens (bij een even aantal het gemiddelde van de twee middelste).
• De modus is de waarde die het vaakst voorkomt.

Het gemiddelde is gevoelig voor uitschieters; de mediaan niet. Bij inkomens ligt het gemiddelde daarom vaak hoger dan de mediaan.

Spreidingsmaten

• De spreidingsbreedte is maximum min minimum: $9-2=7$.
• Het eerste kwartiel $Q_1$ is de mediaan van de onderste helft, het derde kwartiel $Q_3$ die van de bovenste helft. De kwartielafstand is $Q_3-Q_1$; daarbinnen ligt de middelste helft van de gegevens.
• De standaardafwijking $\sigma$ meet de typische afstand tot het gemiddelde. Je berekent haar met de GR: voer de gegevens in een lijst in en gebruik 1-Var Stats; de waarde $\sigma x$ is de standaardafwijking van het gegeven bestand.

Bij het voorbeeld hierboven is $Q_1=3$ en $Q_3=6$, dus de kwartielafstand is 3, en $\sigma \approx 2,19$.

Hoe groter $\sigma$, hoe verder de gegevens uit elkaar liggen. Een toets waarbij iedereen rond een 6 zit, heeft een kleine $\sigma$; een toets met veel onvoldoendes en veel hoge cijfers een grote.

De boxplot

Een boxplot (doosdiagram) toont vijf getallen: het minimum, $Q_1$, de mediaan, $Q_3$ en het maximum. De doos loopt van $Q_1$ tot $Q_3$ en heeft een streep bij de mediaan; de snorharen lopen naar minimum en maximum.

De boxplot laat zien of de gegevens symmetrisch verdeeld zijn. Ligt de mediaan dicht bij het midden van de doos en zijn de snorharen even lang, dan is dat het geval. Een lange snor rechts betekent dat de hoge waarden ver uit elkaar liggen.

Vergelijk je twee groepen, teken dan de boxplots onder elkaar op dezelfde schaal: je ziet direct verschillen in ligging en spreiding.

Klassen en het histogram

Bij veel of continue gegevens deel je de waarden in klassen in. In een histogram is niet de hoogte maar de oppervlakte van een staaf evenredig met de frequentie. De hoogte is de frequentiedichtheid:

Cumulatieve frequentie en percentielen

De cumulatieve frequentie bij een waarde is het aantal gegevens tot en met die waarde. Zet je dat uit in een grafiek (de cumulatieve frequentiepolygoon), dan kun je aflezen:

• hoeveel procent onder een bepaalde waarde zit (het percentiel);
• de mediaan: bij 50%;
• de kwartielen: bij 25% en 75%.

Let op

• Gemiddelde en mediaan zijn niet hetzelfde. Geef bij scheve verdelingen de mediaan.
• Histogram: oppervlakte, niet hoogte, bij klassen van ongelijke breedte.
• Standaardafwijking is geen kwartielafstand. Ze meten allebei spreiding, maar op verschillende manieren.
• Kwartielen: verschillende methoden bestaan; volg de methode van je GR of je boek.
• Eenheden: noem bij elke maat de eenheid.

In het kort

• Gemiddelde, mediaan en modus zijn centrummaten; de mediaan is niet gevoelig voor uitschieters.
• Spreiding: spreidingsbreedte, kwartielafstand $Q_3-Q_1$ en standaardafwijking.
• Een boxplot toont minimum, $Q_1$, mediaan, $Q_3$ en maximum.
• In een histogram is de oppervlakte van een staaf evenredig met de frequentie; de hoogte is de frequentiedichtheid.
• Uit een cumulatieve grafiek lees je percentielen, de mediaan en de kwartielen af.