Samenvatting · Wiskunde C · vwo 5 De normale verdeling: kansen, grenswaarden en sommen van variabelen

Pakken suiker die niet precies 1000 gram wegen, de lengte van volwassenen, de tijd die je nodig hebt voor een rit: de meeste metingen schommelen rond een gemiddelde in een symmetrische klokvorm. Dat is de normale verdeling. Na deze samenvatting reken je kansen en grenswaarden uit en ga je om met sommen en gemiddelden van normaal verdeelde variabelen.

Kengetallen en vuistregels

Een normaal verdeelde variabele $X$ heeft een gemiddelde $\mu$ (de top van de klok) en een standaardafwijking $\sigma$ (de spreiding). Je schrijft $X\sim N(\mu ,\sigma )$. De totale oppervlakte onder de kromme is 1.

Bij benadering ligt 68% van de waarden tussen $\mu -\sigma$ en $\mu +\sigma$, 95% tussen $\mu -2\sigma$ en $\mu +2\sigma$, en 99,7% tussen $\mu -3\sigma$ en $\mu +3\sigma$.

Kansen berekenen met de GR

Met **normalcdf(ondergrens, bovengrens, $\mu$, $\sigma$)** vind je de kans dat $X$ tussen twee grenzen ligt. Voor "kleiner dan" neem je een ondergrens van $-10^{99}$, voor "groter dan" een bovengrens van $10^{99}$.

Bij een continue verdeling is $P(X=a)=0$: alleen een interval heeft een kans. Het maakt dus niet uit of je $<$ of $\le$ schrijft.

Grenswaarden: de omgekeerde vraag

Is de kans gegeven en zoek je de grens, dan gebruik je **invNorm(linkeroppervlakte, $\mu$, $\sigma$)**.

Standaardiseren

De z-score geeft aan hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt:

Bij $x=65$, $\mu =50$ en $\sigma =6$ is $z=2,5$. Met z-scores kun je waarden uit verschillende verdelingen vergelijken.

Sommen van normaal verdeelde variabelen

Zijn $X$ en $Y$ onafhankelijk en normaal verdeeld, dan is ook $X+Y$ normaal verdeeld met:

De gemiddelden tellen dus gewoon op, maar bij de standaardafwijkingen moet je de varianties (${\sigma }^2$) optellen.

Het gemiddelde van een steekproef

Neem je $n$ onafhankelijke metingen met gemiddelde $\mu$ en standaardafwijking $\sigma$, dan heeft het steekproefgemiddelde $\bar{X}$:

Dit is de **$\sqrt{n}$-wet. Met 25 metingen van $\sigma =10$ is ${\sigma }_{\bar{X}}=\frac{10}{5}=2$: het gemiddelde schommelt veel minder dan een enkele meting.

Een machine instellen

Soms moet je $\mu$ zo kiezen dat een gegeven kans wordt gehaald. Stel dat hooguit 2,5% van de pakken onder de 500 g mag blijven, met $\sigma =10$ g. Dan moet 500 de grens zijn waar links 2,5% ligt, dat is $\mu -1,96\sigma$. Dus $\mu =500+1,96\cdot 10\approx 519,6$ g. Je vindt de 1,96 met invNorm(0,975; 0; 1).

Let op

• Kleinere standaardafwijking geeft een smallere, hogere klok met dezelfde top.
• Bij sommen telt de variantie op, niet de standaardafwijking: ${\sigma }_{X+Y}\ne {\sigma }_X+{\sigma }_Y$.
• invNorm vraagt de linkeroppervlakte. Reken "de hoogste 5%" om naar 0,95.
• **Gebruik $\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$ voor een gemiddelde,** niet voor een enkele meting.

In het kort

• Vuistregels: 68% binnen $\mu \pm \sigma$, 95% binnen $\mu \pm 2\sigma$, 99,7% binnen $\mu \pm 3\sigma$.
• normalcdf geeft een kans tussen twee grenzen; invNorm geeft de grens bij een linkeroppervlakte.
• z-score: $z=\frac{x-\mu }{\sigma }$.
• Voor onafhankelijke $X$ en $Y$: ${\mu }_{X+Y}={\mu }_X+{\mu }_Y$ en ${\sigma }_{X+Y}=\sqrt{{\sigma }_X^2+{\sigma }_Y^2}$.
• Het gemiddelde van $n$ metingen heeft standaardafwijking $\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$.